Mathematik: Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie
Released by matroid on Fr. 11. November 2022 09:17:20
Written by nzimme10 - (392 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}\)

Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie

Ein Tensor ist ein Objekt, das wie ein Tensor transformiert. In etwa das ist die Definition in manchen Physikbüchern oder einführenden Vorlesungen. Diese "Definition" eignet sich zwar um Berechnungen durchführen zu können, aber wirklich verstehen kann man sie (zumindest am Anfang) nicht. Wenn man sich mit der Differentialgeometrie beschäftigt stellt man schnell fest, dass man in der Regel kein globales kanonisches Koordinatensystem mehr hat. Auf Mannigfaltigkeiten können daher nur Konzepte definiert werden, die unabhängig von den gewählten (lokalen) Koordinaten sind, die also intrinsisch definiert sind. Viele der Konzepte der Differentialgeometrie sind dafür gemacht, die Mittel der linearen und multilinearen Algebra darauf anzuwenden. Tensoren und Tensorfelder, das wird sich zeigen, sind dann genau die mathematischen Objekte, die diese koordinatenunabhängige Beschreibung verschiedener Eigenschaften möglich machen. Dieser Artikel möchte einen Beitrag zum Verständnis dieser Konzepte aus Sicht der Differentialgeometrie leisten.
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Mathematik: Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
Released by matroid on Di. 08. November 2022 15:16:45
Written by Triceratops - (396 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen

Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen sind wichtige Klassen von Abbildungen. Sie werden in diesem Artikel mit der Lösbarkeit von Gleichungen einfach erklärt und mit Hilfe von Bild und Kern charakterisiert. Zum besseren Verständnis werden außerdem sehr viele Beispiele vorgestellt (30 Stück). Anschließend geben wir auch einige Charakterisierungen an, die mit Kürzungs- und Liftungseigenschaften arbeiten. Mit ihnen wird deutlich, dass Injektivität und Surjektivität zueinander "duale" Konzepte sind. Der Artikel richtet sich an Studienanfänger.
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Mathematik: Ist die Hesse-Matrix die zweite Ableitung?
Released by matroid on Do. 03. November 2022 13:01:26
Written by nzimme10 - (379 x read)
Analysis  \(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}\)

Ist die Hesse-Matrix die zweite Ableitung?

Neulich im Schwätz hat ein Nutzer die Frage gestellt, ob man ihm helfen könne zu zeigen, dass die 2. Ableitung die Hesse-Matrix ist. Zunächst war ich von der Frage etwas verwundert, habe dann aber geglaubt zu verstehen, was das Anliegen ist und nach einigen Stunden hin und her war der Stand der Dinge, dass das, was ich vorgeschlagen hatte, zu kompliziert wäre und "mit Matrizen alles viel logischer" wäre. Persönlich kann ich nur spekulieren, dass der Wunsch alles mit Matrizen darzustellen nur von fehlendem Verständnis kommen kann. Für konkrete Rechnungen mag das schön sein, aber ich halte es für das konzeptionelle Verständnis nicht nur für unnötig, sondern vor allem für hinderlich. In diesem Artikel möchte ich daher einige Auszüge der mehrdimensionalen Differentialrechnung etwas anders darstellen, als das sonst in den gängigen Lehrbüchern und Lehrveranstaltungen für Studienanfänger getan wird. Natürlich kommen wir auf die Frage zurück, die dem Artikel seinen Namen gegeben hat.
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Mathematik: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
Released by matroid on So. 16. Oktober 2022 20:27:34
Written by MontyPythagoras - (549 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)

SchaukelIch weiß nicht so recht, ob dieser Artikel in meine Reihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" passt, denn tatsächlich kommt die Frage nach der Lösung der Pendelgleichung regelmäßig auf, wenn man die Historie des Matheplaneten durchblättert. Üblicherweise kommt als Antwort die Kleinwinkelnäherung wie aus der Pistole geschossen: $\sin\varphi\approx\varphi$ für $\varphi\approx 0$ und zack! Lineare Differentialgleichung, deren Lösung der ambitionierte Student im Schlaf aufsagen kann. Dabei gibt es eine exakte Lösung, und die Funktionen, die man dafür braucht, sind a) nicht gerade neu und b) in jeder gutsortierten Funktionenbibliothek vieler Programmiersprachen und erst recht in CAS-Systemen vorhanden. Warum also nicht exakt lösen? Weil es leider doch einen Wermutstropfen gibt. Wie könnte es anders sein... Schauen wir uns den Wermutstropfen und die "Workarounds" etwas genauer an. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Gelfand-Dualität ohne 1
Released by matroid on Di. 14. August 2007 17:35:57
Written by Martin_Infinite - (3669 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Gelfand-Dualität ohne 1

English version (pdf) Der Satz von Gelfand\-Naimark besagt, dass für jede kommutative unitale array(C^\*)\-Algebra A die Gelfand\-Transformation A \to C(Spec(A)) , a \mapsto (\phi \mapsto \phi(a)) ein \*\-Isomorphismus ist, wobei das Spektrum Spec(A) der \(mit punktweiser Konvergenz\) kompakte Raum aller nichttrivialen Algebrenhomomorhismen A \to \IC ist \(Charaktere\). Ein großartiges Resultat, mit dem man abstrakt definierte array(C^\*)\-Algebren, v.a. normale Elemente mit konkreten Funktionen identifizieren kann. Andererseits hat man für jeden kompakten Raum X einen Homöomorphismus X \to Spec(C(X)) , x \mapsto (g \mapsto g(x)) Diese Sachverhalte sollen hier nun kategorientheoretisch formuliert werden und ausführlich auf lokalkompakte Räume bzw. array(C^\*)\-Algebren ohne 1 übertragen werden. \(\endgroup\)
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Werkzeuge: Octave: 2D- und 3D-Grafik - ein paar Beispiele
Released by matroid on Fr. 12. August 2022 06:47:16
Written by Delastelle - (588 x read)
Informatik  \(\begingroup\) Mit dem kostenlosen Programm Octave kann man 2D- und 3D-Grafiken erstellen. Ich habe hier einige kurze Beispiele um Grafiken zu erzeugen. Im Artikel gibt es Grafiken und den Quelltext zum Erzeugen dieser Grafiken. Man kann einen Überblick bekommen, was mit Octave möglich ist. \(\endgroup\)
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Physik: Gasblasen in Flüssigkeiten
Released by matroid on Sa. 23. Juli 2022 08:30:30
Written by Roland17 - (376 x read)
Physik  \(\begingroup\) Die z.B. in Sekt oder anderen kohlensäurehaltigen Getränken aufsteigenden Serien von Kohlendioxidbläschen weisen häufig eine schöne Regelmäßigkeit auf, welcher in diesem Artikel nachgespürt wird. \(\endgroup\)
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Mathematik: Autokarten 2 - crazy
Released by matroid on Mo. 11. Juli 2022 06:42:16
Written by Delastelle - (149 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\) Ist mein Motorrad besser als deine Lok oder ist mein Flugzeug besser als dein Schiff? Kann man mit "Äpfeln" und "Birnen" spielen und ergibt das ein gutes "Obst"? Wenn man aus 8 verschieden Kartenspielen/Quartetten je die ersten 4 Karten entnimmt, und dann mit den 32 Karten Autokarten spielt, geht das überhaupt? Am Ende wird auch noch ein sinnvolles Kartenspiel behandelt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Die Lokalisierung eines geringten Raumes
Released by matroid on Fr. 24. Juni 2022 17:40:56
Written by Triceratops - (391 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Die Lokalisierung eines geringten Raumes

Jedem kommutativen Ring $R$ kann man einen lokalgeringten Raum $\mathrm{Spec}(R)$ zuordnen, das Spektrum von $R$. Die Punkte dieses Raumes sind die Primideale $\mathfrak{p} \subseteq R$, die Strukturgarbe erfüllt $ \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R),\mathfrak{p}} = R_{\mathfrak{p}}$. In diesem Artikel werden wir diese Konstruktion auf geringte Räume verallgemeinern. Es handelt sich um eine "topologische Ausdehnung" des Spektrum eines kommutativen Ringes. Eine Variante dieser Konstruktion ermöglicht es, das relative Spektrum einer Garbe von Algebren sowie Faserprodukte von lokalgeringten Räumen zu konstruieren. Die topologischen Räume und Strukturgarben kann man hierbei konkret hinschreiben. Diese Konstruktionen sind also allgemeiner und trotzdem konkreter als die in der algebraischen Geometrie üblichen Verklebekonstruktionen im Spezialfall von Schemata.
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