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 Zufallsvariablen und gemeinsame Dichte |
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carlox
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 |  Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23
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\quoteon(2021-04-28 10:23 - zippy in Beitrag No. 5)
Solange du keine Annahmen über die Art der Abhängigkeit der $X_i$ machen willst, kannst du das Bildmaß $P\circ X^{-1}$ nicht konkret angeben. Du musst also entweder sagen, dass die $X_i$ unabhängig sind, oder du musst sagen, wie ihre Abhängigkeit aussieht, indem du z.B. die gewünschte Dichte von $P\circ X^{-1}$ hinschreibst.
\quoteoff
Ich meinte das folgende Zitat aus deinem Beitrag 5:
\quoteon
Die Verteilungen der $X_i$ sind festgelegt durch (1) das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $\Omega$ und (2) durch die Abbildungen $X_i\colon\Omega\to\mathbb R$.
Man kann sich daher in einem gewissen Umfang aussuchen, an welchen dieser beiden Stellschrauben man dreht: Du kannst beispielsweise für $P$ das Lebesgue-Maß auf $[0,1]^2$ nehmen und dann $X_2$ so wählen, dass sich die gewünschte Verteilung ergibt, oder du kannst gleich auf $[0,1]^2$ ein Produktmaß $P=\lambda\otimes\mu$ aus dem Lebesgue-Maß $\lambda$ und einem Maß $\mu$ mit ${\mathrm d\mu\over\mathrm d\lambda}=f_2$ und dann für $X_2$ die Projektion auf die zweite Koordinate nehmen.
\quoteoff
Frage:
Bedeutet das, dass man für ein P ein (so wie es AnnaKath im Beitrag 1 macht) beliebiges WK-Maß wählen kann (also nicht nur das Lebesgue-Maß auf $[0,1]^2$) und dass dann auch ein $X_1$ existiert, so dass sich die gewünschte Verteilung ergibt?
Wie hast du das so "schnell" gesehen (ohne weitere Zwischenschritte zu formulieren)?
Frage:
Oder gilt das (vermutlich aber nicht nur) für den Speziallfall:
Wähle für $P$ das Lebesgue-Maß auf $[0,1]^2$.
Dann kann man nämlich $X_1$ wie folgt wählen:
Sei $F_1$ die eine vorgegebene Randverteilung:
$\Omega := [0,1]^2$
Sei $X_1 : [0,1]^2 \rightarrow \mathbb{R}$
Wähle die Vorschrift:
$X_1(x,y) := F_1^{-1}(x)$
Dann gilt (wie in meinem Beitrag 36 gezeigt):
$F_1(a)=P(X_1^{-1}(-\infty,a]))$
Wie hast du das so "schnell" gesehen (ohne weitere Zwischenschritte zu formulieren)?
mfg
cx
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Zusatz:
Habe nachträglich heruasgefunden, wie man mehrere P wählen kann:
Behauptung:
Seien $F_1$ und $F_2$ stetige und streng monotone Verteilungsfunktionen:
(Def. Verteilungsfunktion, siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsma%C3%9F )
$F_1: \mathbb{R} \rightarrow [0,1]$
$F_2: \mathbb{R} \rightarrow [0,1]$
Dann gibt es WK-Räume (mit "vielen" P) $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ und 2 ZVen $X_1$ und $X_2$ mit:
$F_1 = P \circ X_1^{-1}$ und
$F_2 = P \circ X_2^{-1}$
und $F_1$ und $F_2$ sind die Randverteilungsfunktionen von F
($F(a,b) := P(X_1 \le a \cap X_2 \le b)$) d.h:
$F_1(a) = F(a, \infty)$ und
$F_2(b) = F(\infty, b)$
Beweis:
$\Omega := \mathbb{R}$
$\mathcal{A} = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ = Borel-Mengen
$P$ sei ein beliebiges WK-Maß auf $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ mit zugehöriger streng monoton wachsender und stetiger Verteilungsfunktion $F$:
$F(x) := P((-\infty,a])$
Dann wähle die ZVen $X_1, X_2$ wie folgt:
$X_1: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$X_1:= F_1^{-1} \circ F$
$X_2: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$X_2:= F_2^{-1} \circ F$
Daraus folgt:
$X_1^{-1}:= F^{-1} \circ F_1$
$X_2^{-1}:= F^{-1} \circ F_2$
1) Zeige $ X_1$ ist ZVe:
$X_1^{-1}((-\infty,a]) = F^{-1}(F_1((-\infty,a]))= (-\infty, F^{-1}(F_1(a))] \in \mathcal{B}(\mathbb{R} $
2) Zeige: $F_1(a) = P(X_1((-\infty,a])$
Es gilt:
$P(X_1^{-1}((-\infty,a]))= P(F^{-1}(F_1((-\infty,a])))= P((-\infty, F^{-1}(F_1(a))]) = F(F^{-1}(F_1(a))) = F_1(a)$
Analoges für $X_2$
mfg
cx
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carlox
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| Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23
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\quoteon(2022-01-22 22:10 - zippy in
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