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 Punktmasse auf Kugeloberfläche - Lagrange 1. Art |
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thomas_zenk
Junior 
Dabei seit: 10.05.2022
Mitteilungen: 10
Wohnort: Deutschland, Düsseldorf
 |  Themenstart: 2022-05-17
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Ein Massenpunkt \(m\) soll sich unter dem Einfluss des homogenen Schwerfelds der Erde auf einer Kugeloberfläche mit Radius \(R\) bewegen.
(a) Geben Sie zunächst die vorliegenden Zwangsbedingungen an. Welche kinetische und potentielle Energie besitzt das Teilchen? Formulieren Sie die Lagrange-Gleichungen 1. Art und bestimmen Sie die Zwangskräfte.
______________________________________
Ich habe zunächst Kugelkoordinaten \((r, \theta, \phi)\) mit \(\vec{r} = r \vec{e}_r\) gewählt. Die skleronome Zwangsbedingung lautet
\[g(\vec{r}, t) = g(r) = r - R = 0\]
Potentielle Energie: \(U = mgh = mgr \cos \theta\)
Kinetische Energie: \(T = \frac{1}{2} m \dot{\vec{r}}^2 = \frac{1}{2} m \left(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \sin^2 \theta \right)\)
Jetzt stelle ich die Lagrange-Gleichungen 1. Art auf:
\[ m \ddot{\vec{r}} = - \nabla V + \sum_k \lambda_k \nabla g_k \]
Homogenes Schwerfeld \(\implies \nabla V = mg \vec{e}_z = mg \left(\cos \theta \vec{e}_r - \sin \theta \vec{e}_\theta \right) \)
Gradient meiner Zwangsbedingung: \( \nabla g(r) = \vec{e}_r \)
Somit erhalte ich insgesamt
\[ m \ddot{\vec{r}} = mg \left(\sin \theta \vec{e}_\theta - \cos \theta \vec{e}_r\right) + \lambda \vec{e}_r \]
Für die linke Seite setze ich jetzt die einzelnen nicht verschwindenden Komponenten von \(\ddot{\vec{r}}\) ein. Dadurch erhalte ich \(2\) Gleichungen
\[ m \left( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 - r \dot{\phi}^2 \sin^2 \theta \right) = -mg \cos \theta + \lambda \]
\[ m \left( 2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta} - r \dot{\phi}^2 \sin \theta \cos \theta \right) = mg \sin \theta \]
Zweimaliges Differenzieren der Zwangsbedingung liefert außerdem
\[ \ddot{r} = \dot{r} = 0 \]
womit sich obige Gleichungen und die Energie etwas vereinfachen lassen:
\[ m \left(-r \dot{\theta}^2 - r \dot{\phi}^2 \sin^2 \theta \right) = -mg \cos \theta + \lambda \tag{1} \]
\[ m \left(r \ddot{\theta} - r \dot{\phi}^2 \sin \theta \cos \theta \right) = mg \sin \theta \]
\[ E = T + U = \frac{1}{2} m \left( r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \sin^2 \theta \right) + mgr \cos \theta \tag{2} \]
Damit komme ich irgendwie zu keinem schönen Ergebnis. Gleichung \((1)\) ähnelt zwar stark dem Energiesatz \((2)\), passt aber nicht um den Faktor \(1/2\).
Wie kann ich die Zwangskraft bzw. \(\lambda\) hier elegant bestimmen? Ich könnte \((1)\) natürlich direkt nach \(\lambda\) auflösen, dann hat man aber immer noch die Ableitungen \(\dot{\theta}, \; \dot{\phi}\) in dem Ausdruck, was mir irgendwie komisch vorkommt.
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Spock
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Dabei seit: 25.04.2002
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Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-21
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Hallo Thomas!
Im Prinzip sind Deine Überlegungen richtig, aber warum versuchst Du es zunächst nicht etwas einfacher:
Du hast ja einmal die freie Wahl Dein Koordinatensystem festzulegen, also warum nicht annehmen, daß sich die Kugel z.B. in der x-z-Ebene bewegt?
Das vereinfacht die Sache etwas, da lediglich der Winkel \theta = \theta(t) zwischen dem Bahnvektor r^>(t) und der z\-Richtung ins Spiel kommt.
Zunächst lautet die Zwangsbedingung
g(r^>)=sqrt(x^2+z^2)-R=0,
und da die Zwangskraft Z^> senkrecht auf der Oberfläche g(r^>)=0 sein muß, ist
Z^>=\l e^>_r
Somit hat man die folgenden Lagrange Gleichungen erster Art
m r^>^**=-mg e^>_z+\l e^>_r
r=R
Danach kann man über Kugelkoordinaten nachdenken, wobei jetzt aber \phi2=0 ist
Ich würde es erstmal so probieren, und wenn Du danach noch Energie und Ausdauer hast, mach mit Deinem Ansatz weiter.
Grüße & melde Dich bei Problemen.
Juergen
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thomas_zenk
Junior
Dabei seit: 10.05.2022
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-21
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\quoteon(2022-05-21 13:04 - Spock in Beitrag No. 1)
Hallo Thomas!
Im Prinzip sind Deine Überlegungen richtig, aber warum versuchst Du es zunächst nicht etwas einfacher:
Du hast ja einmal die freie Wahl Dein Koordinatensystem festzulegen, also warum nicht annehmen, daß sich die Kugel z.B. in der x-z-Ebene bewegt?
Das vereinfacht die Sache etwas, da lediglich der Winkel \theta = \theta(t) zwischen dem Bahnvektor r^>(t) und der z\-Richtung ins Spiel kommt.
Zunächst lautet die Zwangsbedingung
g(r^>)=sqrt(x^2+z^2)-R=0,
und da die Zwangskraft Z^> senkrecht auf der Oberfläche g(r^>)=0 sein muß, ist
Z^>=\l e^>_r
Somit hat man die folgenden Lagrange Gleichungen erster Art
m r^>^**=-mg e^>_z+\l e^>_r
r=R
Danach kann man über Kugelkoordinaten nachdenken, wobei jetzt aber \phi2=0 ist
Ich würde es erstmal so probieren, und wenn Du danach noch Energie und Ausdauer hast, mach mit Deinem Ansatz weiter.
Grüße & melde Dich bei Problemen.
Juergen
\quoteoff
Hallo Juergen,
ich hatte zunächst angenommen, dass ich die Zwangskraft ganz allgemein bestimmen soll, d.h. mit \(\phi \neq \mathrm{const}\). In 2D habe ich das Problem jetzt auch lösen können und komme auf den Absprungwinkel \(\cos \theta = \frac{2}{3}\)!
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Spock
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Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-22
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Hallo Thomas,
Dein Ergebnis in Beitrag No.2 ist richtig, wobei Du wahrscheinlich stillschweigend die Anfangsbedingungen
\theta(t=0)=0
\theta^*(t=0)=0
verwendet hast.
Nun zurück zu Deinen Fragen im Themenstart:
Ohne jetzt alles nachgerechnet zu haben, Dein Ausdruck für die kinetische Energie ist richtig.
Ich denke Du hast verstanden, daß \l gerade die Zwangskraft in Richtung von e^>_r ist, und deshalb ja, Du mußt Deine mit (1) bezeichnete Gleichung nach \l auflösen, wobei Du noch r=R setzen mußt.
Wenn Du das tust, solltest Du feststellen, daß die Zwangskraft gerade die durch das Gravitationspotential U verursachte Kraftkomponente
F_r=-pdiff(U,r),
genommen bei r=R, plus die Zentrifugalkraft kompensiert.
Also alles soweit in Ordnung mit Deiner Rechnung, :-)
Grüße
Juergen
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