Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » euklidischer Ring
Autor
Universität/Hochschule J euklidischer Ring
juergenX
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 734
  Themenstart: 2022-10-06

Namt. Weil ich mich grade mit den Isomorphiesätzen beschaeftige: Ich beziehe mich hier auf \quoteon(2022-06-24 14:17 - Triceratops in Beitrag No. 1) Falls du an anderen, eleganteren Lösungswegen interessiert bist: Es gilt $\IZ[i] \cong \IZ[x] / \langle x^2+1 \rangle$. Nun benutzt man übliche Isomorphiesätze für Ringe und erhält allgemein, für jedes $n \in \IZ$, dass $\IZ[i] / \langle n \rangle \cong \IZ/n\IZ \, [x] / \langle x^2 + 1 \rangle.$ \quoteoff Dazu meine Frage: was heisst $\langle n \rangle$ und hier $\IZ[i] / \langle n \rangle$? Ich verstehe die $\langle n \rangle $ nicht. Sind das Erzeugende? von Was? \quoteon Folgerung:.. \quoteoff Wie benutzt man die üblichen Isomorphiesätze? Dann kann ich evtl auch die Folgerungen im o.a. Thread verstehen.. Was $\IZ[i]$ ist ist mir klar, und auch was ein euklidscher Ring ist. Sie auch "Beispiele für euklidische und nichteuklidische Ringe" in https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Ring Thx


   Profil
Mandelbluete
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 332
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \) Was $\langle n\rangle$ heißt, hängt immer vom Kontext ab. Hier faßt man $n$ als Element von $\Z[\i]$ auf, und dann ist \[ \mathfrak a := \langle n\rangle = n\Z[\i] = \{n(a + \i b) \mid a,b \in \Z\} \] das davon erzeugte Ideal. Durch \[ \Z[\i] \to \Z[x]/\langle x^2 + 1\rangle, \quad \i \mapsto [x], \] wird nun in kanonischer Weise ein Ringisomorphismus definiert, und $\mathfrak a$ geht darunter auf das Ideal $n\Z[x]/\langle x^2 + 1\rangle$. Jetzt kommt der zweite Isomorphiesatz: \[ \frac{\Z[i]}{\mathfrak a} \cong \frac{\Z[x]/\langle x^2 + 1\rangle}{n\Z[x]/\langle x^2 + 1\rangle} \cong \frac{\Z[x]}{n\Z[x]} \cong (\Z/n\Z)[x]. \] Wenn $n = p$ eine Primzahl ist, dann ist $\mathbb F_p = \Z/p\Z$ der Körper mit $p$ Elementen, und wir haben rechts den Polynomring $\mathbb F_p[x]$ mit Koeffizienten in $\mathbb F_p$. Da haben wir jetzt also ein wunderschönes Beispiel von Martin (siehe Frage hier)! 🙂\(\endgroup\)


   Profil
juergenX hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
juergenX hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]