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| Autor |
 Transformation einer multivariaten Normalverteilung |
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luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 735
 |  Themenstart: 2022-05-19
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Moin, ich moechte hier mal mit einer Frage aufwarten, die mich schon einige Zeit beschaeftigt. Es handelt sich um Aufgabe 3.2.4, Seite 86, in dem Buch hier.
Insbesondere an den Teilen (b) und (c) habe ich mir bislang die Zaehne ausgebissen, z.B. mit Hilfe momenterzeugender Funktionen. Insbesondere verbluefft mich, dass bei (b) keinerelei weitere Annahmen ueber $\mathbf{a}$ getroffen werden.
Ich kann also leider nicht mit irgendwelchen eigenen Ansaetzen aufwarten. Es ist noch zu erwaehnen, dass in dem Buch $\mathbf{\Sigma}$ auch singulaer sein kann, aber ich waere schon gluecklich, wenn mir jemand fuer Fall mit einer regulaeren Matrix auf die Spruenge helfen koennte.
Danke im Voraus.
vg Luis \(\endgroup\)
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 Profil
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piquer
Senior 
Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 507
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-21
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Hallo Luis,
das ist eine Anwendung der faktorisierten bedingten Verteilung. Es sei also wie im Buch $X \sim N(\mu, \Sigma)$ ein $p$-dim. ZV.
Wie sich aus den Rechenregeln für charakteristische Funktionen ergibt, folgt
$$
Y_a = \frac{a^T (X - \mu)}{\sqrt{a^T Z a}} \sim N(0, 1),
$$
falls $a \in \IR^p$ mit $a^T \Sigma a > 0$. Das beweist Teil a).
Für Teil b) sei $A$ ein von $X$ unabhängiger ZV mit $P(A^T \Sigma A = 0) = 0$. Da $X$ und $A$ unabhängig sind, folgt für die faktorisierte bedingte Verteilung $P_{X \parallel A}$ von $X$ gegeben $A$, dass
$$
P_{X \parallel A}(a, B) = P_X(B).
$$
Aus der Definition der (faktorisierten) bedingten Verteilung folgt mittels üblicher maßtheoretischer Induktion, dass
$$
\begin{aligned}
E(\exp(i t Y_A) \parallel A = a)
&= \int E(\exp(i t Y_a)) P_{X \parallel A}(a, \mathrm d x) \\
&= \int E(\exp(i t Y_a)) P_{X}(\mathrm d x) \\
&= \Phi(t),
\end{aligned}
$$
für $P_A$-f.a. $a \in \mathbb R^p$, wobei $\Phi$ die charakteristische Funktion der Normalverteilung ist. Im ersten Schritt wurde die Form der faktorisierten bedingten Verteilung ausgenutzt, im letzten Schritt die Definition der charakteristischen Funktion und die Rechenregeln unter affin-linearer Transformation.
Damit folgt mit der Definition der faktorisierten bedingten Erwartung, dass
$$
E(\exp(i t Y_A)) = \int E(\exp(i t Y_A) \parallel A = a) P_A(\mathrm d a)
= \int \Phi(t) P_A(\mathrm d a) = \Phi(t),
$$
d.h. $Y_A$ (im Buch $f$) ist normalverteilt.
Zum Beweis der Unabhängigkeit wiederholen wir obiges Spiel für
$$
E(\exp(i t Y_A) \exp(i s^T A) \parallel A = a)
= \Phi(t) \exp(i s^T a)
$$
für $P_A$-f.a $a$.
Integrieren über $a$ bzgl. $P_A$ wie oben liefert dann
$$
E(\exp(i t Y_A) \exp(i s^T A)) = \Phi(t) \Phi_A(s),
$$
mit $\Phi_A$ gleich der charakteristischen Funktion von $A$.
Das zeigt die Unabhängigkeit von $A$ und $Y_A$.
Teil c) ist eine direkte Anwendung von b).
Viele Grüße
Torsten
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Bozzo
Senior 
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2227
Wohnort: Franken
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-22
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Vlt. zusaetzlich auch noch als anschaulche Argumentation fuer invertierbares Σ, mit y = Σ-1/2(x-μ), b = Σ1/2a und c = b/||b|| ist
f = c'y
einfach die Projektion einer standardnormalverteilten ZV y entlang einer beliebigen Richtung c. Aus der Rotationssymmetrie von y folgt auch, dass einem das Wissen ueber die Richtung c (solange diese unabhaengig von y ist) nichts ueber f aussagen laesst und diese daher auch unabhaengig sind.
Koennte man jedoch zwei Richtungen c und d von y "vermessen", also neben f auch noch g = d'y bilden, so koennte einem das Wissen ueber f auch etwas ueber g verraten, wodurch f und g nicht unabhaengig waeren (esseidenn c'd=0).
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 735
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-22
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Hallo Torsten, danke fuer deine Hilfe.
Du argumentierst masstheoretisch, worum ich mich Zeit meines Lebens immer gedrueckt habe. So habe ich keinen Zweifel daran, dass dein Argument korrekt ist. Allerdings richtet sich das Buch an Leser mit einem basic knowledge of Mathematical Statistics at undergraduate level, die zudem ueber Wissen eines elemantary course on Linear Algebra verfuegen. Aber egal, mit deiner eleganten Loesung bin ich jetzt zufrieden.
Und auch bei dir bedanke ich mich fuer die Veranschaulichung, Bozzo.
vg Luis
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