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Schulmathematik » Stochastik und Kombinatorik » Anzahl der Möglichkeiten bestimmen
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Schule Anzahl der Möglichkeiten bestimmen
Nilo06
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  Themenstart: 2022-06-27

Hallo, für die Darstellung meiner Frage nehme ich das folgende Beispiel: Es geht um einen Würfel. Auf 3 Seiten hat er eine 3, auf 2 Seiten eine 2, auf einer Seite eine 1. Er wird drei Mal gewürfelt. Ich würde das "Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge" zuordnen. Also gibt es insgesamt $3^3=27$ Möglichkeiten. Jetzt geht es darum die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse zu bestimmen. Das habe ich auch bereits erledigt, aber ich musste mir jeweils alle Kombinationen rausschreiben... Zur Vollständigkeit schreibe ich die Ereignisse mal auf. Ereignis 1: "Alle Zahlen sind beim dreimaligen Würfeln unterschiedlich." Ereignis 2: "Augensumme beim dreimaligen Würfeln ist größer als 6" Ereignis 3: "Augensumme beim viermaligen Würfeln kleiner als 6" Gibt es einen Weg, wie sich die Anzahl der Ereignisse schneller bestimmen lassen als sie immer rauszuschreiben? (Für das Ereignis 1 habe ich gelesen, dass das über $n!=3!$ geht, weil es hier 3 Werte gibt und 3 Mal gewürfelt wird. Aber wie ist das, wenn zwei Mal gezogen wird oder 4 Mal?) Vielen Dank!


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! \quoteon(2022-06-27 20:41 - Nilo06 im Themenstart) für die Darstellung meiner Frage nehme ich das folgende Beispiel: Es geht um einen Würfel. Auf 3 Seiten hat er eine 3, auf 2 Seiten eine 2, auf einer Seite eine 1. Er wird drei Mal gewürfelt. Ich würde das "Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge" zuordnen. Also gibt es insgesamt $3^3=27$ Möglichkeiten. \quoteoff Das hängt ja nicht so sehr vom Spielgerät ab, als vielmehr von den Fragestellungen. Und das mit den 27 möglichen Fällen kannst du hier aus dem Grund nicht machen, als der einzelne Wurf mit diesem Würfel kein Laplace-Experiment ist. Die einzelnen Zahlen fallen nämlich mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten. Ich würde hier vielmehr ausnutzen, dass die einzelnen Würfe stochastisch unabhängig sind (sagt dir das etwas?), so dass man die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse der einzelnen Würfe miteinander multiplizieren kann. \quoteon(2022-06-27 20:41 - Nilo06 im Themenstart) Jetzt geht es darum die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse zu bestimmen. Das habe ich auch bereits erledigt, aber ich musste mir jeweils alle Kombinationen rausschreiben... Zur Vollständigkeit schreibe ich die Ereignisse mal auf. Ereignis 1: "Alle Zahlen sind beim dreimaligen Würfeln unterschiedlich." Ereignis 2: "Augensumme beim dreimaligen Würfeln ist größer als 6" Ereignis 3: "Augensumme beim viermaligen Würfeln kleiner als 6" Gibt es einen Weg, wie sich die Anzahl der Ereignisse schneller bestimmen lassen als sie immer rauszuschreiben? \quoteoff Bei deinem Ereignis 1 ist bspw. klar, dass jede der drei Zahlen genau einmal vorkommen muss. Jetzt haben diese drei Zahlen unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, und es gibt dann in diesem Fall noch 6 mögliche Reihenfolgen, in denen das Ereignis realisiert werden kann (diese Reihenfolgen treten aber jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf, das kann man sich hier zunutze machen). Also ja: das geht hier rein rechnerisch mit etwas Überlegung und ggf. etwas Kombinatorik. Du könntest ja deine Ergebnisse zur Kontrolle mal noch posten? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Kombinatorik & Graphentheorie' in Forum 'Stochastik und Kombinatorik' von Diophant]\(\endgroup\)


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Nilo06
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27

Vielen Dank für deine Antwort. Die Ergebnisse habe ich schon überprüft und es geht mir nicht um die Wahrscheinlichkeiten. Ich weiß, dass das kein LaPlace ist! Dennoch interessiert mich die Anzahl an Kombinationen, weil ich Kombinatorik nachvollziehen möchte. Ich wollte wissen, ob es stimmt, dass es insgesamt 27 Möglichkeiten gibt... Genau aus dem Grund, dass z.B. die 6 Möglichkeiten aus Ereignis 1 gleich wahrscheinlich sind und man sich das zu nutze machen kann, entstand meine Frage... Ich will wissen, ob es eine Methode gibt die Kombinationen der einzelnen Ereignisse schneller zu bestimmen. Meine Frage bezog sich auf deinen allerletzten Satz, den ich genauer nachvollziehen möchte. "Rein rechnerisch, etwas überlegen, ggf. Kombinatorik" - Wie genau?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Caban
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-27

Hallo Ja, es sind 27 Möglichkeiten. Das ist richtig. Beim 2 Ereignis würde ich so vorgehen: - Kleinstes Element soll 1 sein. Die Summe der anderen beiden muss also größer 5 sein. 133, 331, 313 Kleinstes Element soll 2 sein. Die Summe der anderen beiden muss also größer 4 sein. 223, 232, 322, 233, 323, 332 Dann fehlt noch 333. Gruß Caban


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-27

@Caban: mit deinen Fällen für das kleinste Element 1... \quoteon(2022-06-27 21:47 - Caban in Beitrag No. 3) 133, 131, 311 \quoteoff ...bin ich nicht einverstanden. Ich nehme aber an, dass es sich um Tippfehler handelt und du die drei Möglichkeiten meinst, dass eine Eins und zwei Dreien fallen? @Nilo06: Das dritte Ereignis ist auch sehr einfach: überlege dir hier einmal, welche Zahl überhaupt wie oft fallen darf, damit man in der Summe unter 6 bleibt. Da gibt es nicht viele Möglichkeiten... Generell ist übrigens das Ausschreiben von Möglichkeiten mit dem Zweck, sie abzuzählen, oft sehr hilfreich dabei, die Struktur eines kombinatorischen Problems besser zu verstehen, so dass sich dann daraus ein bzw. der korrekte rechnerische Ansatz ergibt. Ist mir persönlich jedenfalls schon oft so gegangen. Gruß, Diophant


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Caban
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-28

Hallo Diophant! Danke. Ja, das war ein Tippfehler. Gruß Caban


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