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 Umformung mehrdimensionaler Differentiale |
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MasterWizz
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 |  Themenstart: 2022-08-05
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Hi Leute,
ich habe eine Verständnisfrage zu mehrdimensionalen Differentialen. Könnt ihr mir erklären, warum bei Oberflächenintegralen für den Zusammenhang vom vektoriellen und skalaren Oberflächenelement gilt:
\[\mathrm{d}\vec{o}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\mathrm{d}o\]
Oder warum bei Kurvenintegralen gilt:
\[\mathrm{d}\vec{n}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\mathrm{d}s\]
Und ganz allgemein ob ich bei Kurvenintegralen mit \(\vec{x}=\vec{r}\) und \(\|\vec{x}\|=r\) sagen kann:
\[\mathrm{d}\vec{x}=\frac{\vec{x}}{\|\vec{x}\|}\mathrm{d}r\]
Ich würde gern diese Art Umschreibung von vektoriellen Differentialen zu skalaren Differentialen verstehen und nutzen.
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wladimir_1989
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| Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-05
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Hallo MasterWizz,
diese Umformungen gelten generell für alle Vektoren. Was wir machen, ist einen Vektor als Produkt von seinem Betrag und einem Einheitsvektor, der die Richtung des Vektors angibt, zu schreiben. Das skalare Differential ist also nichts anderes als die Länge des Vektoriellen Differentials und \(\vec n\) einfach ein beliebiger Vektor, der parallel zum vektoriellen Differential ist. Der Richtungsvektor muss normiert werden, damit er der Betrag des ursprünglichen Vektors nicht verändert wird.
Bei dem Linienelement ist das einfach ein Tangentialvektor zur Kurve und beim Flächenelement ist das ein Normalvektor, der senkrecht auf der Fläche steht, denn eine orientierte Fläche ist ein Vektor, deren Betrag die Größe der Fläche angibt und deren Richtung eine Normale zur Fläche angibt.
lg Wladimir
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MasterWizz
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-05
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Wow natürlich. Also einfach nach der Logik
\[\vec{x}=\frac{\vec{x}}{\|\vec{x}\|}\|\vec{x}\|.\]
Doch warum genau ist das beim Linienelement, der Tangentialvektor? Ich habe mich leider damals in der Analysis Vorlesung nicht getraut zu fragen, aber jetzt interessiert es mich..
Also ganz konkret: Warum gilt bei Kurvenintegralen der Zusammenhang
\[\mathrm{d}\vec{n}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\mathrm{d}s?\]
Du hast es zwar grad erklärt, nur ist es für mich noch nicht so greifbar. Hast du dafür zufällig eine genauere Erklärung?
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wladimir_1989
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-05
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Hallo,
\quoteon(2022-08-05 15:13 - MasterWizz in Beitrag No. 2)
Doch warum genau ist das beim Linienelement, der Tangentialvektor? Ich habe mich leider damals in der Analysis Vorlesung nicht getraut zu fragen, aber jetzt interessiert es mich..
\quoteoff
Es ist eigentlich genauso wie bei der 1-dimensionalen Ableitung: die Ableitung einer parametrisierten Kurve \(\vec \gamma(t)\) \(\frac{\text{d}\gamma}{\text{d}t}\) ist der Limes aus dem "Differenzenquotienten" \(\lim_{h\to 0}\frac{\vec \gamma(t+h)-\vec \gamma(t)}{h}\). Die Differenz ist ja gerade ein Vektor, der zwei Punkte auf der Kurve verbindet. Lässt man nun \(h\) gegen 0 laufen, rücken die Punkte immer näher zusammen und werden immer mehr zum Tangentialvektor im Punkt \(\vec \gamma(t)\). Male dir am besten einfach eine Kurve in 2-D, wähle zwei Punkte auf der Kurve, und schaue dir, wie sich der Verbindungsvektor ändert, wenn die Punkte immer näher zusammen rücken. Physikalisch ist die Ableitung einer Kurve natürlich nichts anderes als die momentane Geschwindigkeit des Massepunktes, der sich entlang dieser Kurve bewegt.
lg Wladimir
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MasterWizz
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-06
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Das habe ich tatsächlich verstanden. Nur wenn doch gilt
\[\vec{n}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\|\vec{n}\| \quad\text{und auch}\quad \mathrm{d}\vec{n}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\mathrm{d}s = \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\|\vec{\gamma}\,'(t)\|\mathrm{d}t,\]
dann würde sich doch, wenn ich die linke Gleichung nach \(t\) ableite und nach \(\mathrm{d}\vec{n}\) umstelle, durch Gleichsetzen mit der rechten Gleichung ergeben:
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\|\vec{n}\|\right) = \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\|\vec{\gamma}\,'(t)\|,\]
oder? Warum stimmt das? Für mich ist das nicht so offensichtlich. Oder habe ich einen Fehler in meinem Gedanken?
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wladimir_1989
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-06
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Hallo,
ich glaube, du hast ein Problem mit deiner Notation, denn die Gleichung
\(\text{d}\vec n=\frac{\vec n}{||\vec n||}||\vec n||\) sagt ja aus, das die Änderung von \(\vec n\) parallel zu \(\vec n\) ist und das ist ja i.A. falsch, denn der Ortsvektor der Kurve ist ja normalerweise nicht parallel zu dem Tangentialvektor an die Kurve. Lass uns lieber die Notation aus Beitrag 3 benutzen und klar zwischen einem Punkt auf der Kurve, dessen Ortsvektor den Nullpunkt mit dem Punkt auf der Kurve verbindet und dem Tangentialvektor unterscheiden. Sei also \(\vec \gamma(t)\) der Punkt auf der Kurve zur Zeit t (die Zeit ist hier einfach ein beliebiger Kurvenparameter). Dann gilt für die Änderung von \(\vec \gamma\)
\[\text{d}\vec \gamma(t)=\frac{\text{d}\vec \gamma(t)}{\text{d}t}\text{d}t=\frac{\vec n}{||\vec n||}||\vec \gamma'(t)||\text{d}t=\frac{\vec n}{||\vec n||}\text{d}s,\] wobei \(\ \text{d}s=||\vec \gamma'(t)||\text{d}t\) und \(\vec n\) ein beliebiger Tangentialvektor zur Kurve im Punkt \(\vec \gamma(t)\) ist. Beachte, dass \(\vec n\) hier explizit nicht der Ortsvektor ist!
lg Wladimir
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MasterWizz
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-07
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Moment warte, wie kommst du darauf? Das habe ich nicht geschrieben.
Ich schreib noch mal ab, was bereits bekannt ist und was ich genau so in Beitrag 4 geschrieben habe:
\[\vec{n}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\|\vec{n}\| \quad\text{und}\quad \mathrm{d}\vec{n}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\mathrm{d}s = \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\|\vec{\gamma}\,'(t)\|\mathrm{d}t.\]
Wenn ich die linke Seite ableite und mit der rechten gleichsetze, dann ergibt sich ja dieser Zusammenhang:
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\|\vec{n}\|\right) = \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\|\vec{\gamma}\,'(t)\|.\]
Diesen Zusammenhang verstehe ich nicht. Ich habe allerdings nicht geschrieben \(\mathrm{d}\vec{n}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\|\vec{n}\|\), weil das ist ja Quatsch.
Auch verstehe ich nicht, wieso du geschrieben hast:
\[\text{d}\vec \gamma(t)=\frac{\text{d}\vec \gamma(t)}{\text{d}t}\text{d}t=\frac{\vec n}{||\vec n||}||\vec{\gamma}\,'(t)||\text{d}t=\frac{\vec n}{||\vec n||}\text{d}s,\]
denn es gilt doch eigentlich, wie oben geschrieben:
\[\mathrm{d}\vec{n}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\mathrm{d}s,\]
wobei \(\vec{n}\) senkrecht auf \(\vec{\gamma}(t)\) steht und eben nicht parallel dazu ist.
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wladimir_1989
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-07
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Hallo MasterWizz,
\quoteon(2022-08-07 12:35 - MasterWizz in Beitrag No. 6)
denn es gilt doch eigentlich, wie oben geschrieben:
\[\mathrm{d}\vec{n}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\mathrm{d}s,\]
wobei \(\vec{n}\) senkrecht auf \(\vec{\gamma}(t)\) steht und eben nicht parallel dazu ist.
\quoteoff
ok, ich fürchte wir haben die ganze Zeit über verschiedene Sachen geredet. Ich dachte, dir geht es darum, das Linienelement eines Kurvenintegrals zu beschreiben, der ja tangential zur Kurve ist und \(\vec n\) bei dir die Kurve bezeichnet. Aus Beitrag 6 entnehme ich aber, dass du damit den Normalenvektor auf der Kurve meinst. In diesem Fall ist die Gleichung aber falsch, denn die Änderung des Normalenvektors ist nicht proportional zum Normalenvektor selbst. Stelle dir zur Veranschaulichung einen Kreis vor. In meinem Beitrag 6 ist \(\vec n\) dagegen ein Tangentialvektor zur Kurve, die ich mit \(\gamma\) bezeichne
\quoteon(2022-08-06 13:21 - wladimir_1989 in Beitrag No. 5)
\[\text{d}\vec \gamma(t)=\frac{\text{d}\vec \gamma(t)}{\text{d}t}\text{d}t=\frac{\vec n}{||\vec n||}||\vec \gamma'(t)||\text{d}t=\frac{\vec n}{||\vec n||}\text{d}s,\] wobei \(\ \text{d}s=||\vec \gamma'(t)||\text{d}t\) und \(\vec n\) ein beliebiger Tangentialvektor zur Kurve im Punkt \(\vec \gamma(t)\) ist. Beachte, dass \(\vec n\) hier explizit nicht der Ortsvektor ist!
lg Wladimir
\quoteoff
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MasterWizz
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-08
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Ich bin mir da ehrlich gesagt nicht so sicher, denn im Integralsatz von Gauß im \(\mathbb{R}^3\) bezeichnet in
\[\oint_{\partial V}\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{o} = \oint_{\partial V}\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\,\mathrm{d}o = \int_V\!\mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}V\]
der Vektor \(\vec{n}\) auch den Normalenvektor, also den, der senkrecht zum Volumen \(V\) bzw. dessen Oberfläche \(\partial V\) steht.
Beim Integralsatz von Gauß im \(\mathbb{R}^2\) ist es doch genauso, oder?
\[\oint_{\partial F}\!\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{n} = \oint_{\partial F}\!\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\,\mathrm{d}s = \int_F\!\mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}F\]
berechnet hier den Fluss des Normalenvektors \(\vec{n}\) durch die Randkurve \(\partial F\) bzw. die aufsummierte Quelldichte innerhalb des Gebiets \(F\).
In beiden Fällen besagt ja der Satz, dass der Fluss durch den Rand des Gebiets (in Richtung des Normalenvektor) gleich der aufsummierten Quelldichte innerhalb des eingeschlossenen Gebiets ist. Allein aus diesem Verständnis sollte ja der Fluss \(\oint_{\partial F} \vec{v}\,\mathrm{d}\vec{n}\) etwas anderes sein als die geleistete Arbeit \(\oint_{\partial F} \vec{v}\,\mathrm{d}\vec{s}\) und damit auch insbesondere \(\mathrm{d}\vec{n}\neq\mathrm{d}\vec{\gamma}(t)\).
\quoteon(2022-08-07 15:50 - wladimir_1989 in Beitrag No. 7)
In diesem Fall ist die Gleichung aber falsch, denn die Änderung des Normalenvektors ist nicht proportional zum Normalenvektor selbst. Stelle dir zur Veranschaulichung einen Kreis vor.
\quoteoff
Was genau meinst du damit und in wiefern ist das mit der Ausführung oben vereinbar?
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wladimir_1989
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-08
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Hallo,
\quoteon(2022-08-08 09:01 - MasterWizz in Beitrag No. 8)
Beim Integralsatz von Gauß im \(\mathbb{R}^2\) ist es doch genauso, oder?
\[\oint_{\partial F}\!\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{n} = \oint_{\partial F}\!\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\,\mathrm{d}s = \int_F\!\mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}F\]
berechnet hier den Fluss des Normalenvektors \(\vec{n}\) durch die Randkurve \(\partial F\) bzw. die aufsummierte Quelldichte innerhalb des Gebiets \(F\).
\quoteoff
ok, wie du ja selbst sagst ist das ja kein Kurvenintegral, sondern ein 1-dimensionales Oberflächenintegral. Hier steht das Integrationselement tatsächlich senkrecht auf der Randkurve. Damit sind wir doch wieder bei Beitrag 1 \(\text{d}\vec n=\frac{\vec n}{||\vec n||}\text{d}s\) gilt, denn jeder Vektor kann als sein Betrag multipliziert mit einem Einheitsvektor in seine Richtung beschrieben werden. Das Wichtigste hier ist, dass \(\text{d}\vec n\) keine Änderung des Normalenvektors beschreibt, sondern die Änderung der 1-dimensionalen "Oberfläche". Ich finde allerdings, dass dies einfach keine gute Notation ist. Vergleiche z.B. mit der Notation hier.
\quoteon(2022-08-08 09:01 - MasterWizz in Beitrag No. 8)
\quoteon(2022-08-07 15:50 - wladimir_1989 in Beitrag No. 7)
In diesem Fall ist die Gleichung aber falsch, denn die Änderung des Normalenvektors ist nicht proportional zum Normalenvektor selbst. Stelle dir zur Veranschaulichung einen Kreis vor.
\quoteoff
Was genau meinst du damit und in wiefern ist das mit der Ausführung oben vereinbar?
\quoteoff
Diese Aussage bezog sich wirklich auf d\(\vec n\) als Änderung des Normalenvektors im Sinne eines begleitenden Dreibeins, da ich ja davon ausging, dass wir über Kurvenintegrale reden.
Hoffentlich ist die Sache nun klarer geworden
lg Wladimir
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MasterWizz
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-08
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Achso jetzt verstehe ich so langsam! Es handelt sich bei
\[\oint_{\partial F}\!\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{n} = \oint_{\partial F}\!\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\,\mathrm{d}s\]
im Sinne des Gaußschen Integralsatzes gar nicht um ein Kurvenintegral, sondern um ein 1-dimensionales Oberflächenintegral! Das war mir bis jetzt nicht bewusst.
In diesem Sinne verstehe ich auch die Verwirrung und was du mir versuchst die ganze Zeit zu erklären. In dieser Schreibweise handelt es sich bei \(\mathrm{d}s\) gar nicht um ein Linienelement, weshalb du auch die Schreibweise nicht so gut findest, ist das richtig? Denn wenn es kein Linienelement ist, dann finde ich es auch überhaupt nicht gut, dass ich es verwende. Das hat ja dann erst zu der ganzen Verwirrung geführt.
\quoteon(2022-08-08 18:47 - wladimir_1989 in Beitrag No. 9)
Diese Aussage bezog sich wirklich auf d\(\vec n\) als Änderung des Normalenvektors im Sinne eines begleitenden Dreibeins, da ich ja davon ausging, dass wir über Kurvenintegrale reden.
\quoteoff
Die Änderung des Normalenvektors ist eine Linearkombination aus dem Tangentialvektor und dem Binormalenvektor, richtig? Auch von den Frenetschen Formeln habe ich grad zum ersten Mal gehört. Differentialgeometrie scheint sehr interessant zu sein! :)
Habe ich meine Denkfehler richtig zusammengefasst? Falls ja, bedanke ich mich schon jetzt für deine ausführlichen Erklärungen und deine wertvolle Zeit, die du mir geschenkt hast!! 🤗
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wladimir_1989
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-08-09
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Hallo,
\quoteon(2022-08-08 21:17 - MasterWizz in Beitrag No. 10)
Achso jetzt verstehe ich so langsam! Es handelt sich bei
\[\oint_{\partial F}\!\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{n} = \oint_{\partial F}\!\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\,\mathrm{d}s\]
im Sinne des Gaußschen Integralsatzes gar nicht um ein Kurvenintegral, sondern um ein 1-dimensionales Oberflächenintegral! Das war mir bis jetzt nicht bewusst.
\quoteoff
genau.
\quoteon(2022-08-08 21:17 - MasterWizz in Beitrag No. 10)
In dieser Schreibweise handelt es sich bei \(\mathrm{d}s\) gar nicht um ein Linienelement, weshalb du auch die Schreibweise nicht so gut findest, ist das richtig? Denn wenn es kein Linienelement ist, dann finde ich es auch überhaupt nicht gut, dass ich es verwende. Das hat ja dann erst zu der ganzen Verwirrung geführt.
\quoteoff
Der Punkt ist, d\(s\) ist ein 1-dimensionales skalares Flächenelement, das gezwungenermaßen auch ein skalares Linienelement ist, es ist der Betrag der "1-dimensionalen orientierten Fläche" eines infinitesimalen Oberflächenelementes. 1-dimensionale skalare Flächenelemente sind aber natürlich besser bekannt als skalare Linienelemente :). Das Wort "skalar" ist hier entscheidend, denn d\(\vec n\) als Vektor ist explizit kein vektorielles Linienelement.
\quoteon(2022-08-08 21:17 - MasterWizz in
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09
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\quoteon(2022-08-09 00:50 - wladimir_1989 in Beitrag No. 11)
Der Punkt ist, d\(s\) ist ein 1-dimensionales skalares Flächenelement, das gezwungenermaßen auch ein skalares Linienelement ist, es ist der Betrag der "1-dimensionalen orientierten Fläche" eines infinitesimalen Oberflächenelementes. 1-dimensionale skalare Flächenelemente sind aber natürlich besser bekannt als skalare Linienelemente :). Das Wort "skalar" ist hier entscheidend, denn d\(\vec n\) als Vektor ist explizit kein vektorielles Linienelement.
\quoteoff
Achso, das ist der Zusammenhang! Da muss ich noch mal in Ruhe drüber nachdenken. Wirklich sehr spannend.
Nur bedeutet es dann auch weiter, dass ich \(\mathrm{d}s=\|\vec{\gamma}\,'(t)\|\,\mathrm{d}t\) umformen darf, sodass gilt
\[\int_{\gamma}\!\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{n} = \int_{\gamma}\!\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\,\mathrm{d}s = \int_{\gamma}\!\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\cdot \|\vec{\gamma}\,'(t)\|\,\mathrm{d}t,\]
womit ich nur noch irgendwie rausfinden muss, wie der Normalenvektor \(\vec{n}\) zur Kurve bestimmt wird? Das wäre hilfreich zu wissen, falls ich mal den Fluss durch eine nicht geschlossene Kurve (1-dimensionale Oberfläche 😉) berechnen will, wenn der Integralsatz von Gauß nicht angewendet werden kann.
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wladimir_1989
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-08-09
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Hallo,
\quoteon(2022-08-09 10:43 - MasterWizz in Beitrag No. 12)
Achso, das ist der Zusammenhang! Da muss ich noch mal in Ruhe drüber nachdenken. Wirklich sehr spannend.
Nur bedeutet es dann auch weiter, dass ich \(\mathrm{d}s=\|\vec{\gamma}\,'(t)\|\,\mathrm{d}t\) umformen darf, sodass gilt
\[\int_{\gamma}\!\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{n} = \int_{\gamma}\!\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\,\mathrm{d}s = \int_{\gamma}\!\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}\cdot \|\vec{\gamma}\,'(t)\|\,\mathrm{d}t,\]
womit ich nur noch irgendwie rausfinden muss, wie der Normalenvektor \(\vec{n}\) zur Kurve bestimmt wird? Das wäre hilfreich zu wissen, falls ich mal den Fluss durch eine nicht geschlossene Kurve (1-dimensionale Oberfläche 😉) berechnen will, wenn der Integralsatz von Gauß nicht angewendet werden kann.
\quoteoff
Die Umformung ist richtig. Bei der Berechnung des Normalenvektors helfen gerade die Frenetschen Formeln weiter. Besonders elegant ist das Ergebnis, wenn man die Kurve nach ihrer Bogenlänge parametrisiert.
lg Wladimir
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MasterWizz
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-09
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Vielen lieben Dank, du hast mir wirklich sehr weiter geholfen!! 🤗
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