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Universität/Hochschule Mündliche Analysis/Lin. Algebra Beispiele
WhatEvenIsAName
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.10.2022
Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2022-10-06

Hey, ich lege bald die mündlichen Analysis 1 und 2 bzw. Linea 1 und 2 Prüfungen ab. Habe mich hauptsächlich mit den Beweisen befasst und die Beispiele sind bisher etwas zu kurz gekommen. Deshalb wollte ich fragen, was kennt ihr denn für schöne und vor allem kurze leicht zu merkende Beispiele, die bei solchen Prüfungen helfen könnten?


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Qing
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 263
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-06

Hallo, du solltest die Standardgegenbeispiele kennen. Etwa könntest du die Aussage bekommen "Stetige Funktionen sind differenzierbar". Also so eine Art Fangfrage. Das ist natürlich falsch, aber nun mal ein recht beliebter Anfängerfehler. Welches Gegenbeispiel kennst du? Ansonsten gibt es ein paar Bücher "Counterexamples in .... " Etwa Counterexamples in Analysis, was mehr oder weniger die Analysis I bis III abdeckt. Da könntest du vielleicht mal reingucken. Aber so genau musst du es natürlich nicht wissen. Ein paar Fragen zum Selbsttest. Entscheiden musst du ob die Aussage immer gilt. Beweis oder Gegenbeispiel. 1) Eine Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ konvergiert, wenn $a_n\to 0$ gilt. 2) Eine Folge $(a_n)$ für die gilt, dass $|a_{n+1}-a_n|\to 0$ konvergiert. 3) Jede differenzierbare Funktion, ist automatisch auch stetig differenzierbar. 4) Riemann-integrierbare Funktionen sind immer stetig. 5) Stetige Funktionen sind differenzierbar. \showon Hinweis/"Lösung": Die Aussagen sind natürlich alle falsch... Ich bin nicht der Meinung, dass man alle kennen muss. Manche sind durchaus fies. (1), (4) und (5) sollte man ohne Probleme beantworten können. Bei (3) sollte man skeptisch sein. Das Ding ist, dass es gar nicht so einfach ist ein Gegenbeispiel anzugeben. Das Standardgegenbeispiel ist schon relativ kompliziert und lautet $f(x)=\begin{cases} x^2\sin(1/x),\text{ wenn $x\neq 0$}\\ 0,\text{wenn $x=0$}\end{cases}$. Wie gesagt ist dies tatsächlich das Standardgegenbeispiel! Die Frage (2) ist auch recht fies und eher mathematische Allgemeinbildung. Ein Gegenbeispiel ist die Folge $a_n=\sum_{k=1}^n 1/k$. \showoff Wie gesagt, Counterexamples in Analysis von Gelbaum und Olsted ist eine gute Anlaufstelle, die natürlich deutlich mehr enthält. Vielleicht reicht es schon die relevanten Stellen zu überfliegen und sich das genauer anzusehen, was man für relevant hält. Standardgegenbeispiele in der Linearen Algebra sind mehr eigentlich gar nicht so sehr bekannt. Also ich könnte jetzt keine Frage formulieren, die ich für wirklich relevant halte. Ein Versuch: 1) Sind $U, W\subseteq V$ Untervektorräume, so auch $U\cap W$ und $U\cup W$. 2) Ein Unterraum $U$ eines Vektorraums hat nur einen komplementären Unterraum (nämlich $U^c$). 3) Sind drei Vektoren eines vierdimensionalen Vektorraumes immer linear unabhängig? 4) Es gilt $\langle\emptyset\rangle=\emptyset$. 5) Eine einelementige Menge von Vektoren ist immer linear unabhängig. Das würde mir spontan einfallen, ist aber etwas uninspiriert: \showon Hinweis (1) Das sollte man wissen. (2) Es würde mich überraschen wenn du ohne nachzugucken weißt wie ein komplementärer Unterraum definiert ist. Die Aussage ist natürlich falsch. Wie beurteilst du auch, dass $U^c$ (also das mengentheoretische Komplement von $U$) ein Unterraum ist? (3) 10 Minuspunkte wenn du das nicht weißt. (4) Was ist die richtige Antwort? (5) Was ist denn mit dem Nullvektor? \showoff In dem Buch zur Linearen Algebra von Beutelspacher stellt er am Ende eines Kapitels immer Wahr/Falsch fragen. Eventuell kannst du dir die mal angucken. Ein Buch mit Gegenbeispielen für die Lineare Algebra ist mir nicht bekannt. Ansonsten findest du vielleicht auch Protokolle zur mündlichen Prüfung bei der Fachschaft.


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WhatEvenIsAName
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.10.2022
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-07

Danke, sowas ist genau das was ich brauchen kann!


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Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 849
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-07

Das sind sehr gut ausgesuchte Fragen in #1, danke Qing! Ich würde noch gerne zwei "Klassiker" beisteuern: Analysis 6. $\large a_n>0, \lim_{n \to \infty} a_n=0 \Rightarrow \sum \frac{a_n}{n}$ konvergiert und Analysis 7. $\large a_n>0, \sum a_n $ konvergiert $\large \Rightarrow \lim_{n \to \infty} n a_n=0$ Beides, soviel sei verraten, falsch, aber welche Gegenbeispiele gibt es? Grüße Squire


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Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 849
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-08

\showon Gegenbeispiel zu 6. $\large a_n=\frac{1}{\ln n}$ $\large \sum \frac{a_n}{n}=\sum \frac{1}{n \ln n}$ divergiert \showoff \showon Gegenbeispiel zu 7. $\large a_n=\frac{1}{n^2}$, wenn n keine Quadratzahl ist $\large a_n=\frac{1}{n}$, wenn n eine Quadratzahl ist $\large a_n=1,\frac14 , \frac19, \frac14, \frac {1}{25}, \frac {1}{36}, \frac {1}{49}, \frac {1}{64}, \frac {1}{9},...$ $ \large \sum a_n < 2 \cdot \sum \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{3}$ $\large na_n=1,\frac12 , \frac13, 1, \frac {1}{5}, \frac {1}{6}, \frac {1}{7}, \frac {1}{8}, 1,...$ und daher keine Nullfolge Der Satz ist wahr, wenn man als zusätzliche Bedingung vorgibt, dass $a_n$ monoton fallend ist (Satz von Olivier). \showoff


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